การหาค่า sin 18 (How to find "sin 18")

                นับวันการเรียนการศึกษาต้องมีการแข่งขันกันมากขึ้น เด็กๆนักเรียนทั้งหลายนับวันก็ต้องไปเรียนพิเศษเพื่อเรียนเนื้อหาล่วงหน้า รวมทั้งเป็นการทบทวนและเสริมความรู้ที่ได้เคยร่ำเรียนมา เพื่อการสอบ ไม่ว่าจะเป็นการสอบในโรงเรียน การสอบแข่งขัน การสอบ Entrance เพื่อเข้าโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

                คณิตศาสตร์เป็นวิชาหลักสำคัญที่ใช้ในการชี้วัดความสามารถในการสอบหลายสนามด้วยกัน และนับวันก็เริ่มมีโจทย์ประยุกต์มากขึ้นเข้าทุกวัน จากเดิมที่ปกติจะให้หาแค่ค่า sin cos tan ของมุมพื้นฐาน เช่น 30,45,60 ในวิชาตรีโกณมิติเบื้องต้น  เดี๋ยวนี้เริ่มมีน้องๆหลายคนมาถามว่า “sin 18 หายังไง" ซึ่งถ้าเป็นเด็กมัธยมปลายยังไม่ค่อยรู้สึกแปลกใจเท่าไหร่ แต่น้องที่มาถามพี่เป็นเด็ก ม.ต้น นะซิ รู้สึกแปลกใจนิดหน่อย แต่เอาเหอะพี่คิดว่ารู้วิธีการหาไว้สักหน่อยก็ดีนะ เพราะการหาค่า sin 18 ถือได้ว่าเป็นการได้ใช้ความรู้ที่ได้ร่ำเรียนมาประยุกต์ใช้

(สำหรับน้อง ม.ต้น บางคนนั้นอาจจะไม่คุ้นเคยกับหลักการของเนื้อหาที่พี่จะนำเสนอ เนื่องจากเนื้อหาบางอย่างอยู่ในหลักสูตรพื้นฐานตรีโกณมิติของ ม.ปลาย และขอเขียนเป็นภาษาอังกฤษนิดหน่อย ไหนๆก็จะเข้า AEC แล้ว)

Solution ******

Give  A = 18,     so 5A = 90

             3A                                              =    90 – 2A

             sin(3A)                                       =    sin(90-2A)

Because sin 3A = 3 sin A – 4 sin³A    
and   sin (90-2A) = cos 2A = 1 – 2 sin²A

3 sin A – 4 sin³A                             =    1 – 2 sin²A

4 sin³A - 2 sin²A - 3 sin A + 1        =    0

(sin A - 1)(4 sin²A + 2 sin A - 1)    =    0

If sin A - 1 = 0, sin A = 1. However sin A = sin 18 ≠ 1, 
so 4 sin²A + 2 sin A – 1  =  0

          4 sin²A + 2 sin A - 1                       =    0