โจทย์เรขาคณิตบางข้อในข้อสอบสมาคมคณิตประถมปี 2555

มาลองทำโจทย์กันเถอะ
น้องๆบางคนคงเคยได้สอบสมาคมคณิตศ่าสตร์กัน
อันนี้เป็นตัวอย่างโจทย์เรขาคณิตประถมของปี 2555

จากตอนที่ 1 ข้อ 5

วิธีทำนะน้อง

1. จากผลบวกของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม = 180 องศา 
    พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
    จะได้ มุม A + มุม B + มุม C = 180
              40 + 60 +มุม C = 180
เพราะฉะนั้น           มุม C = 80

2. จากคุณสมบัติของเส้นขนาน เมื่อลากเส้นตัดผ่านเส้นคู่ขนาน จะเกิดมุมแย้งเท่ากัน
    พิจารณา AD//BC   โดยมี AC เป็นเหมือนเส้นที่ลากตัดผ้านเส้นคู่ขนาน
    เนื่องจาก มุม BCA กับ มุม CAD เป็นมุมแย้งกัน
    ดังนั้นจะได้ว่า   มุม CAD = มุม BCA = 80

3. จากหลักการที่ว่า มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
    สามเหลี่ยม ADC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งมี DA = DC และ มุม DAC = มุม DCA
    ฉะนั้น มุม DCA = มุม DAC = 80

4. หามุม ADC โดยใช้หลักการ ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม = 180 องศา 
    
     จะได้ ADC = 180 - 80 -80 =20 #

จากตอนที่ 1 ข้อ 13

วิธีทำนะน้อง

ข้อนี้ถ้าหากมองภาพไม่ออก ลองลากเส้น HI แบบพี่ดูนะ

เราจะแบ่ง สี่เหลี่ยม ABCD เป็น สี่เหลี่ยม AIHD กับ สี่เหลี่ยม IBCH

จะได้  สี่เหลี่ยม ABCD = สี่เหลี่ยม AIHD + สี่เหลี่ยม IBCH

สังเกตดูนะว่า  สามเหลี่ยม ADH = สามเหลี่ยม AIH 

และ สามเหลี่ยม HIB = สามเหลี่ยม BCH

เพราะฉะนั้น  สี่เหลี่ยม ABCD = สี่เหลี่ยม AIHD + สี่เหลี่ยม IBCH

                                               = 2*(สามเหลี่ยม AIH + สามเหลี่ยม HIB)

                                               = 2*(ครึ่งหนึ่งของของสี่เหลี่ยม AHBE)

                                               = สี่เหลี่ยม AHBE

ฉะนั้น พื้นที่ สี่เหลี่ยม ABCD = พื้นที่ สี่เหลี่ยม AHBE = 8*4 = 32 ตารางหน่วย #

จากตอนที่ 1 ข้อ 14

วิธีทำนะน้อง

ตรงส่วนที่เป็นสี่เหลี่ยม ถ้าสังเกตดีๆ จะได้ว่าความยาวด้านแต่ละด้าน เท่ากับ ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งเท่ากับ 14

วิธีการหาพื้นที่แรงเงาของข้อนี้ เท่ากับ พื่นที่สี่เหลี่ยม - พื้นที่วงกลมวงหนึ่ง

ฉะนั้น พื้นที่แรงเงา = (14*14) - (3.14 * 7 * 7) = 42.14 ตารางเซนติเมตร #

จากตอนที่ 1 ข้อ 25

วิธีคิดนะน้อง

ลากเส้นให้ได้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส EFGH ซึ่งจะไม่ขออธิบายว่าทำไมถึงได้ความยาวด้านละ 2 หน่วย

สำหรับพื้นที่แรเงาข้อนี้ = พื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส EFGH - พื้นที่วงกลมวงเล็ก (ซึ่งมี r = 1 หน่วย)

ฉะนั้น พื้นที่แรเงา = (2*2) - (3.14 * 1 * 1) = 4 - 3.14 = 0.86

จากตอนที่ 2 ข้อ 5

วิธีคิดนะน้อง

1. เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้ว่า  มุม BCE = มุม BAD = 60 องศา

และ มุม ADC = มุม ABC = 120 องศา

2. เนื่องจาก BE = BC ดังนั้น สามเหลี่ยม BEC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

จะได้ มุม BEC = มุม BCE = 60 องศา

และ มุม EBC = 180 -60 -60 =60 องศา

3. CD//BA

จะได้ มุม BCE = มุม EBA = 60 องศา (มุมแย้งเท่ากัน)

         มุม ABD =  มุม EBA  -  มุม EBD = 60 - 40 = 20 องศา #

การหาค่า sin 18 (How to find "sin 18")

                นับวันการเรียนการศึกษาต้องมีการแข่งขันกันมากขึ้น เด็กๆนักเรียนทั้งหลายนับวันก็ต้องไปเรียนพิเศษเพื่อเรียนเนื้อหาล่วงหน้า รวมทั้งเป็นการทบทวนและเสริมความรู้ที่ได้เคยร่ำเรียนมา เพื่อการสอบ ไม่ว่าจะเป็นการสอบในโรงเรียน การสอบแข่งขัน การสอบ Entrance เพื่อเข้าโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

                คณิตศาสตร์เป็นวิชาหลักสำคัญที่ใช้ในการชี้วัดความสามารถในการสอบหลายสนามด้วยกัน และนับวันก็เริ่มมีโจทย์ประยุกต์มากขึ้นเข้าทุกวัน จากเดิมที่ปกติจะให้หาแค่ค่า sin cos tan ของมุมพื้นฐาน เช่น 30,45,60 ในวิชาตรีโกณมิติเบื้องต้น  เดี๋ยวนี้เริ่มมีน้องๆหลายคนมาถามว่า “sin 18 หายังไง" ซึ่งถ้าเป็นเด็กมัธยมปลายยังไม่ค่อยรู้สึกแปลกใจเท่าไหร่ แต่น้องที่มาถามพี่เป็นเด็ก ม.ต้น นะซิ รู้สึกแปลกใจนิดหน่อย แต่เอาเหอะพี่คิดว่ารู้วิธีการหาไว้สักหน่อยก็ดีนะ เพราะการหาค่า sin 18 ถือได้ว่าเป็นการได้ใช้ความรู้ที่ได้ร่ำเรียนมาประยุกต์ใช้

(สำหรับน้อง ม.ต้น บางคนนั้นอาจจะไม่คุ้นเคยกับหลักการของเนื้อหาที่พี่จะนำเสนอ เนื่องจากเนื้อหาบางอย่างอยู่ในหลักสูตรพื้นฐานตรีโกณมิติของ ม.ปลาย และขอเขียนเป็นภาษาอังกฤษนิดหน่อย ไหนๆก็จะเข้า AEC แล้ว)

Solution ******

Give  A = 18,     so 5A = 90

             3A                                              =    90 – 2A

             sin(3A)                                       =    sin(90-2A)

Because sin 3A = 3 sin A – 4 sin³A    
and   sin (90-2A) = cos 2A = 1 – 2 sin²A

3 sin A – 4 sin³A                             =    1 – 2 sin²A

4 sin³A - 2 sin²A - 3 sin A + 1        =    0

(sin A - 1)(4 sin²A + 2 sin A - 1)    =    0

If sin A - 1 = 0, sin A = 1. However sin A = sin 18 ≠ 1, 
so 4 sin²A + 2 sin A – 1  =  0

          4 sin²A + 2 sin A - 1                       =    0